formulas de la curvatura

vectores tangente, normal y binormal

https://www.youtube.com/watch?v=_gvD-SUNE3M

Formulas de longitud de arco

la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Calculo mediante integrales:

Integracion de funciones vectoriales

Integración de Funciones Vectoriales

Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,

Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,

Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable.

Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para que la integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementandose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será,

El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces

si, f R en [a, b].

Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 .

Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales,

r’(t) = <1, −1, 0> r(0) = <0, 1, 2>

Ahora integremos r’(t) como,

  r’(t) dt =  dt -   dt +  dt

r(t) = <t + c1, -t +c2, c1>

Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como,

r(0) = <c1, c2, c3> = <0, 1, 2> c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2

Entonces la función r(t) se calcula como <t, -t + 1, 2>.

Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario.

De manera similar, un campo vectorial completo también puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de línea del campo vectorial dado.

• Aplicacion de la integracion de funciones vectoriales
• PREVENCION DE TEMBLORES:

UN CAMPO DONDE SE APLICAN LAS FUNCIONES VECTORIALES ES EN LA MEDICION DE LAS ESCALAS DE IMPACTO DEL MOVIMIENTO DE LAS PLACAS TECTONICAS ES DECIR DE LOS TEMBLORES:

SI SE ANALIZARA MAS A FONDO LOS MOVIMIENTOD E LAS PLACAS TECTONICAS Y SE IDENTIFICARAN LO EPICENTROS SERA MAS FACIL Y MAS UTIL EL HECHO DE ANALIZAR ESTOS SISMOS:

Funciones hiperbolicas

Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas estas son:

E

Curvas de la funciones hiperbólicas sinh, cosh ytanh

Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech ycoth

 Aplicaciones de las funciones Hiperbolicas:

El sistema Loran de navegación es una aplicación inmediata de las propiedades de la hipérbola. 

Muchas edificaciones adoptan la hipérbola en sus líneas arquitectónicas: torres en forma de hiperboloide de una hoja, edificios en forma de paraboloide hiperbólico, etc. 

- Techados 

- Estructuras de soporte como columnas y torres Columnas 

-Torres

-Torre de agua

movimiento circular uniforme

En física, el movimiento circular uniforme (también denominado movimiento uniformemente circular) describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular.

Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

La experiencia nos dice que todo aquello da vueltas tiene movimiento circular. Si lo que gira da siempre el mismo número de vueltas por segundo, decimos que posee movimiento circular uniforme (MCU).

Ejemplos de cosas que se mueven con movimiento circular uniforme hay muchos:

La tierra es uno de ellos. Siempre da una vuelta sobre su eje cada 24 horas. También gira alrededor del sol y da una vuelta cada 365 días. Un ventilador, un lavaropas o los viejos tocadiscos, la rueda de un auto que viaja con velocidad constante, son otros tantos ejemplos.

movimiento circular uniforme ejemplo :)

tiro parabolico

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.

Puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

El tiro parabólico tiene las siguientes características: Conociendo la velocidad de salida (inicial), el angulo de inclinación inicial y la diferencia de alturas (entre salida y llegada) se conocerá toda la trayectoria. Los ángulos de salida y llegada son iguales. La mayor distancia cubierta (alcance) se logra con ángulos de salida de 45º. Para lograr la mayor distancia el factor mas importante es la velocidad. Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.

caída libre de un cuerpo

se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido

Caída libre es un caso especial del movimiento rectilíneo uniformemente variado. La única diferencia es que debe cambiar la aceleración a por g cuyo valores es 9.8m/s2.

Cuando se habla de caída libre, se dice que es la caída de los cuerpos en los que no se considera la resistencia del aire. En este texto se consideran casos en los que no se toma en cuenta la resistencia del aire a menos que lo diga expresamente en el problema.

Un caso que es importante anotar es lo hecho de que dos cuerpos que tienen diferente masa y que son soltados desde la misma altura toman el mismo tiempo en llegar al suelo. Es decir, los cuerpos caen a la superficie de la tierra con la misma aceleración sin importar la masa del objeto que se suelta.

Cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba y, como en todos los casos, no se considera la resistencia del aire, cuando vuelva al suelo llega con la misma rapidez con la que fue lanzada.

En las ecuaciones de caída libre, se deben entender que la variable y significa desplazamiento y no distancia recorrida. Ademas, tomando en consideración el eje cartesiano como positivo hacia arriba y negativo hacia abajo, y tomando en cuenta que la aceleración de la gravedad está dirigida hacia abajo, siempre se considerará a la aceleración de la gravedad -9.8m/s2.

ECUACIONES DE CAIDA LIBRE. 

RECUERDA:

• La fuerza y la aceleración siempre apuntan en el mismo sentido.
• En caida libre no importa la cantidad de masa.
• Cuando una partícula se deja caer es o pero cuando se lanza ya toma un valor.
• En todo momento actua la gravedad y actua hacia abajo.

movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento es rectilíneo cuando un móvil describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo MRU.

• Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
• Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes.
• La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.
• Aceleración nula.               

Coordenadas Rectangulares y Polares

COORDENADAS RECTANGULARES 
En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados. En un par de números (x,y) en el cual «x» es el primer numero y «y» el segundo se llama pareja ordenada. Se traza una recta horizontal y una vertical que se cortan en el origen 0 y con una medida conveniente se hace una escala de números reales en cada eje coordenado dejando que el origen sea (0,0).La dirección positiva se escoge hacia la derecha en el eje x y hacia arriba en el Eje y 

La coordenada x, o abscisa, de un punto p es la distancia dirigida desde el eje y hasta el punto. La coordenada y u ordenada de un punto p es la distancia desde el eje x hacia el punto.Un punto de coordenadas dadas se marca midiendo las distancias apropiadas desde los ejes y señalando el punto así localizado.
 Por ejemplo si las coordenadas de un punto son (-4,3) la abscisa -4 significa que el punto esta 4 unidades a ala izquierda del eje y contando desde el origen y la ordenada 3 significa que el punto esta 3 unidades hacia arriba del eje x contando desde el origen.

Para especificar un punto en un plano nos valdremos de un sistema de coordenadas rectangulares 
formado al intersecar perpendicularmente por el origen de ambas a dos rectas numéricas en el 
plano. A una de las rectas la representamos horizontalmente y la llamamos el eje de abscisas o 
eje de x. A la otra recta la representamos verticalmente y la llamamos el eje de ordenadas o eje 

de y. 


aplicaciones de las coordenadas cartesianas


Las coordenadas cartesianas se pueden usar para decir dónde estás exactamente en un mapa o gráfico 

otro ejemplo es 

Programación en coordenadas cartesianas

La programación en coordenadas cartesianas es aquella que nos permite posicionar la herramienta respecto a na base fija y a su vez la orientación de la misma. Dicha orientación no se pierde según movemos la posición de la herramienta. El uso de estas coordenadas es indicada cuando se debe mantener la orientación de la pinza, como en tareas del tipo que se muestra en el ejemplo ( almacén de herramientas robotizado).

algo que nos puede servir para entender un poco mas sobre coordenadas cartesianas es esta pagina con coordenadas cartesianas interactivas

coordenadas polares:

Para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una línea semi-infinita L saliendo del origen. A L se le conoce también como eje polar.También este sistema para localizar puntos en un plano es muy útil como lo utilizan en los radares de submarinos. Se usan los grados y la distancia de la recta usando estos símbolos: Alfa que son los grados y da que es el tamaño de la recta que esta marcada en un punto.

Aplicaciones:

Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.

Posición y navegación

Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.

ecuaciones parametricas

Curvas planas y sus ecuaciones paramétricas:
una curva en R2 se puede definir por medio de una ecuación escalar, a la cual por lo general se le da el nombre de función. Esta función consta de dos variables, una de ellas es la variable independiente x mientras que la otra variable, y, se le denomina la Variable Dependiente.

El conjunto de todos los valores que toma la variable independiente x se le llama Dominio de la función, mientras que los valores que se obtienen para la variable dependiente y reciben el nombre de Rango de la Función.

Sin embargo existe otra forma de representar estas funciones ,  consiste en introducir una nueva variable a la que llamaremos Parámetro; esta nueva variable generalmente se representa por las letras r, s ó t. De tal forma que este parámetro pasa a ser ahora la variable independiente y las variables x y y se convierten en las variables dependientes de estas funciones, como se muestra en la siguiente expresión:

x= f(t); y= g(t) en donde t es el parámetro que relaciona a x y y

Ecuaciones paramétricas:
En el análisis Vectorial, este tipo de funciones que generalmente describen curvas en R2, se le llaman Campos Escalares, y la razón es por que en el dominio de la función los valores que toma en  el parámetro son números reales y en el dominio de la función al sustituirse en x y y se obtienen también números reales en el rango.

Ejemplo:

Por ejemplo, podemos estudiar el campo eléctrico en una región del espacio. Entonces en cada punto pondremos un vector cuyo módulo nos indique la intensidad del campo en cada punto. Necesitamos un vector porque el campo eléctrico tiene dirección y sentido.

Ejemplo de campo vectorial

Cuando se habla de un campo escalar lo que nos estamos refiriendo es a una magnitud que viene completamente definida por un número (y sus unidades). Es decir, no tiene ni dirección ni sentido.

Uno podría, idealmente, poner un termómetro en cada punto del suelo de su habitación y anotar la temperatura en cada punto del mismo. Esto nos daría el campo de temperaturas de la superficie del suelo de la habitación.  Un número por cada punto:

Campo de temperaturas del suelo de la habitación. Claramente hay una estufa en el centro . La altura de la figura indica el valor de la temperatura en cada punto del suelo.

En pocas palabras una ecuación paramétrica es aquella en donde encontramos a X y a Y en función de t como en los siguientes ejemplos:

tutorial para la derivación con la regala de la cadena