curvas planas y sus ecuaciones paramétricas

Curvas planas y sus ecuaciones paramétricas:
una curva en R2 se puede definir por medio de una ecuación escalar, a la cual por lo general se le da el nombre de función. Esta función consta de dos variables, una de ellas es la variable independiente x mientras que la otra variable, y, se le denomina la Variable Dependiente.

El conjunto de todos los valores que toma la variable independiente x se le llama Dominio de la función, mientras que los valores que se obtienen para la variable dependiente y reciben el nombre de Rango de la Función.

Sin embargo existe otra forma de representar estas funciones ,  consiste en introducir una nueva variable a la que llamaremos Parámetro; esta nueva variable generalmente se representa por las letras r, s ó t. De tal forma que este parámetro pasa a ser ahora la variable independiente y las variables x y y se convierten en las variables dependientes de estas funciones, como se muestra en la siguiente expresión:

x= f(t); y= g(t) en donde t es el parámetro que relaciona a x y y

Ecuaciones paramétricas:
En el análisis Vectorial, este tipo de funciones que generalmente describen curvas en R2, se le llaman Campos Escalares, y la razón es por que en el dominio de la función los valores que toma en  el parámetro son números reales y en el dominio de la función al sustituirse en x y y se obtienen también números reales en el rango.

Ejemplo:

Por ejemplo, podemos estudiar el campo eléctrico en una región del espacio. Entonces en cada punto pondremos un vector cuyo módulo nos indique la intensidad del campo en cada punto. Necesitamos un vector porque el campo eléctrico tiene dirección y sentido.

Ejemplo de campo vectorial

Cuando se habla de un campo escalar lo que nos estamos refiriendo es a una magnitud que viene completamente definida por un número (y sus unidades). Es decir, no tiene ni dirección ni sentido.

Uno podría, idealmente, poner un termómetro en cada punto del suelo de su habitación y anotar la temperatura en cada punto del mismo. Esto nos daría el campo de temperaturas de la superficie del suelo de la habitación.  Un número por cada punto:

Campo de temperaturas del suelo de la habitación. Claramente hay una estufa en el centro . La altura de la figura indica el valor de la temperatura en cada punto del suelo.

En pocas palabras una ecuación paramétrica es aquella en donde encontramos a X y a Y en función de t como en los siguientes ejemplos:

Curvas y superficies de nivel

una curva es: una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola y la hipérbola. 
en fin, una curva es una linea que hace firuletes en un espacio vectorial. 

superfcie: es un conjunto en 3d, una esfera, un paraboloide hiperbolico,paraboloide, un elipsoide , etc....

LAS CURVAS Y SUPERFICIES NO SON FUNCIONES,SON CONJUNTOS. QUE SE PUEDEN VER COMO "CORTES" DE LOS GRAFICOS QUE DESCRIBEN LAS FUNCIONES. A CADA CORTE DE LA FUNCION SE LO LLAMA NIVEL. 

El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.
La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:

Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel 

Las curvas de nivel se usan: en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración.

En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante). 

curvas de nivel mas usadas o conocidas: 

circunferencia con centro en (h,j) y radio r: 

(x-h)^2+(y-j)^2=r^2 

elipse con centro en (h,j) y semiejes a y b: 

((x-h)^2)/a^2+((y-j)^2)/b^2=1 

hiperbola: 
(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1 o (y^2)/a^2-(x^2)/b^2=1 

superficies de nivel: 

paraboloide: 
f(x,y)=x^2+y^2 si despejo z me queda 0=x^2+y^2-z 

paraboloide hiperbolico, o silla de montar: 
f(x,y)=x^2-y^2 despejo z entonces me queda 0=x^2+y^2-z 

hiperboloide de una hoja de revolucion: 
1=x^2+y^2-z^2 

hiperboloides de 2 hojas: 
-1=x^2+y^2-z^2 

esfera: 
radio^2=x^2+y^2+z^2 

elipsoide: 

1= (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 +(z^2)/c^2 

notar que en la esfera o en a circunferencia, la formula es la misma que en la elipse o elipsoide pero a=b=c 
y es el radio=a=b=c 

otra cosa cuando restas a x,y,z valores estas corriendo el centro , osea (x-h),(y-j),(z-k) seria centro en (h,j,k) 

para graficar estas cosas online se hace con este programa: 
tan solo tines que escribir la formula y te lo grafica 
http://www.wolframalpha.com/ 

¿quien se ha llevado mi queso?

¿quien se ha llevado mi queso?

es un librito corto pero interesante en forma de parábola,donde nos cuenta una historia dentro de otra sobre dos ratones y dos personitas en busca del queso desaparecido dentro de un laberinto, es una metáfora que nos ayuda a reflexionar sobre los cambios inesperados que tenemos en nuestra vida, sobre el miedo que nos domina, la comodidad y no querer esforzarnos ni adaptarnos a los nuevos cambios y oportunidades, este libro nos ayuda a darnos cuenta que a veces el miedo nos detiene y nos hace mas difíciles las cosas de lo que en realidad son  esta muy recomendado.

link con el libro: ¿quien se ah llevado mi queso?

aqui unas buenas razones para empezar a leer:

Te hace más empática: De acuerdo a un estudio hecho por la Universidad Kenyon, la lectura hace que las personas se vuelvan más amables y empáticas porque, al leer, intercambian su vida con la de alguien más y se tiene una conexión humana, a pesar de que el personaje no exista.

Ayuda a concentrarte: Gracias al Internet y las redes sociales, nuestros cerebros aprenden a estar en todos lados y no concentrarse pero, lo que hace un libro es mantener la mente en su lugar y hacer que se relaje.

Mejora tus conocimientos y vocabulario: ¿No hay nada peor que una chic@ con mala ortografía? Pues este problema podría resolverse fácilmente si la lectura se vuelve un hábito.

Te relaja: La lectura relaja más que un paseo en el parque, una copa de vino, videojuegos, música e incluso tu serie o película favorita.

Mejora tus habilidades de matemáticas: De acuerdo a un estudio británico, las personas que leen por placer, tienen mejores calificaciones en todas sus materias ¡incluyendo matemáticas!

Mantiene a tu cerebro saludable: Para evitar el Alzheimer y darle un empujón a tu mente, es importante que pongas en práctica actividades mentales, como la lectura, para que no se vuelva blanco fácil de este tipo de enfermedades.

planos en R

Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que posee un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales. 

Si en este momento estás leyendo lo que está escrito en esta página, es que miras a la pantalla del ordenador. Te habrás fijado que la pantalla es una superficie lisa, llana, plana,…lo mismo que la tapa de tu pupitre, el cristal de tu ventana, etc.

Todos estos ejemplos representan el plano.

El plano tiene dos dimensiones: largo y ancho:

En el plano podemos dibujar puntos, líneas, etc.

Debes tener presente:
a) Entre dos puntos sólo existe una recta.

b) Por un punto pueden pasar infinitas rectas:

Por el punto P pasan cuantas rectas desees.

A tener en cuenta:
a) Si sobre un plano o superficie plana dibujas una recta, todos sus puntos están contenidos en dicho plano o superficie plana.
b) Un plano puede contener infinitas rectas.

c) Por una recta pueden pasar infinitos planos:

Por la recta r  (en color negro) pueden pasar infinitos planos.

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formulas de la curvatura

vectores tangente, normal y binormal

https://www.youtube.com/watch?v=_gvD-SUNE3M

Formulas de longitud de arco

la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Calculo mediante integrales:

Integracion de funciones vectoriales

Integración de Funciones Vectoriales

Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,

Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,

Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable.

Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para que la integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementandose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será,

El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces

si, f R en [a, b].

Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 .

Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales,

r’(t) = <1, −1, 0> r(0) = <0, 1, 2>

Ahora integremos r’(t) como,

  r’(t) dt =  dt -   dt +  dt

r(t) = <t + c1, -t +c2, c1>

Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como,

r(0) = <c1, c2, c3> = <0, 1, 2> c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2

Entonces la función r(t) se calcula como <t, -t + 1, 2>.

Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario.

De manera similar, un campo vectorial completo también puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de línea del campo vectorial dado.

• Aplicacion de la integracion de funciones vectoriales
• PREVENCION DE TEMBLORES:

UN CAMPO DONDE SE APLICAN LAS FUNCIONES VECTORIALES ES EN LA MEDICION DE LAS ESCALAS DE IMPACTO DEL MOVIMIENTO DE LAS PLACAS TECTONICAS ES DECIR DE LOS TEMBLORES:

SI SE ANALIZARA MAS A FONDO LOS MOVIMIENTOD E LAS PLACAS TECTONICAS Y SE IDENTIFICARAN LO EPICENTROS SERA MAS FACIL Y MAS UTIL EL HECHO DE ANALIZAR ESTOS SISMOS:

Funciones hiperbolicas

Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas estas son:

E

Curvas de la funciones hiperbólicas sinh, cosh ytanh

Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech ycoth

 Aplicaciones de las funciones Hiperbolicas:

El sistema Loran de navegación es una aplicación inmediata de las propiedades de la hipérbola. 

Muchas edificaciones adoptan la hipérbola en sus líneas arquitectónicas: torres en forma de hiperboloide de una hoja, edificios en forma de paraboloide hiperbólico, etc. 

- Techados 

- Estructuras de soporte como columnas y torres Columnas 

-Torres

-Torre de agua

movimiento circular uniforme

En física, el movimiento circular uniforme (también denominado movimiento uniformemente circular) describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular.

Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

La experiencia nos dice que todo aquello da vueltas tiene movimiento circular. Si lo que gira da siempre el mismo número de vueltas por segundo, decimos que posee movimiento circular uniforme (MCU).

Ejemplos de cosas que se mueven con movimiento circular uniforme hay muchos:

La tierra es uno de ellos. Siempre da una vuelta sobre su eje cada 24 horas. También gira alrededor del sol y da una vuelta cada 365 días. Un ventilador, un lavaropas o los viejos tocadiscos, la rueda de un auto que viaja con velocidad constante, son otros tantos ejemplos.

movimiento circular uniforme ejemplo :)

tiro parabolico

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.

Puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

El tiro parabólico tiene las siguientes características: Conociendo la velocidad de salida (inicial), el angulo de inclinación inicial y la diferencia de alturas (entre salida y llegada) se conocerá toda la trayectoria. Los ángulos de salida y llegada son iguales. La mayor distancia cubierta (alcance) se logra con ángulos de salida de 45º. Para lograr la mayor distancia el factor mas importante es la velocidad. Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.

caída libre de un cuerpo

se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido

Caída libre es un caso especial del movimiento rectilíneo uniformemente variado. La única diferencia es que debe cambiar la aceleración a por g cuyo valores es 9.8m/s2.

Cuando se habla de caída libre, se dice que es la caída de los cuerpos en los que no se considera la resistencia del aire. En este texto se consideran casos en los que no se toma en cuenta la resistencia del aire a menos que lo diga expresamente en el problema.

Un caso que es importante anotar es lo hecho de que dos cuerpos que tienen diferente masa y que son soltados desde la misma altura toman el mismo tiempo en llegar al suelo. Es decir, los cuerpos caen a la superficie de la tierra con la misma aceleración sin importar la masa del objeto que se suelta.

Cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba y, como en todos los casos, no se considera la resistencia del aire, cuando vuelva al suelo llega con la misma rapidez con la que fue lanzada.

En las ecuaciones de caída libre, se deben entender que la variable y significa desplazamiento y no distancia recorrida. Ademas, tomando en consideración el eje cartesiano como positivo hacia arriba y negativo hacia abajo, y tomando en cuenta que la aceleración de la gravedad está dirigida hacia abajo, siempre se considerará a la aceleración de la gravedad -9.8m/s2.

ECUACIONES DE CAIDA LIBRE. 

RECUERDA:

• La fuerza y la aceleración siempre apuntan en el mismo sentido.
• En caida libre no importa la cantidad de masa.
• Cuando una partícula se deja caer es o pero cuando se lanza ya toma un valor.
• En todo momento actua la gravedad y actua hacia abajo.